关于修正对角线的一些新结果

O'Grady 最近研究了光滑射影簇的 $m$ 阶修正对角线，推广了 Gross-Schoen 修正小对角线。这些圈 $\Gamma^m(X,a)$ 依赖于参考点 $a\in X$（或更一般地，一个次数为 1 的零维闭链）的选择。我们证明了对于任意 $X,a$，当 $m$ 充分大时，圈 $\Gamma^m(X,a)$ 为零。我们还证明了 O'Grady 的如下猜想：若 $X$ 是 $Y$ 的二重覆盖且 $\Gamma^m(Y,a)$ 为零（其中 $a$ 属于分歧轨迹），则 $\Gamma^{2m-1}(X,a)$ 为零；并给出了向更高次有限覆盖的推广。最后，我们证明了当 $X=S^{[m]}$，$S$ 为 $K3$ 曲面，且 $n=2m$ 时，$\Gamma^{n+1}(X,o_X)=0$ 成立；该结论由 O'Grady 提出猜想，并已由他对 $m=2,3$ 的情形予以证明。