$G_2$ 与 Calabi-Yau 簇的某些退化

我们引入了一个簇 $\hat{G}_2$，它参数化了七维向量空间中一般退化四形式的迷向五维空间。它以一种自然的方式成为簇 $G_2$（单李群 $\mathbb{G}_2$ 的伴随簇）的退化。它恰好也是 $\mathbb{P}^5$ 在包含一条三次挠曲线的二次曲面系下的像。该三次挠曲线退化为三条直线，引发了 $G_2$ 的退化，这些退化是环面 Gorenstein Fano 五重流形。我们利用这两种退化构造了 Calabi--Yau 三重流形之间的几何过渡。我们进一步证明了，每个具有 Picard 数 2、亏格 10 且容许 $g^1_5$ 的极化 K3 曲面，都作为簇 $\hat{G}_2$ 的线性截面出现。