K3 曲面的射影退化、高斯映射与 Fano 三维流形

本文展示了若干光滑 $K3$ 曲面的射影退化，这些曲面在 $\Bbb P^g$ 中满维为 $2g-2$（其 Picard 群由超平面类生成），退化为两条理想螺旋面的并或平面。由此我们证明，若 $g=11$ 或 $g\geq 13$，则此类 $K3$ 曲面的一般超平面截面具有一秩一的高斯映射。我们还证明，此类一般超平面截面唯一地位于一个 $K3$ 曲面上（在射影变换下）。最后，我们提出一种新的 Fano 三维流形指数为一的分类方法，这种方法不依赖于直线的存在。