通过Shimura-Taniyama猜想求解S-单位、Mordell、Thue、Thue-Mahler及广义Ramanujan-Nagell方程

在第一部分中，我们构造了算法并将其应用于求解S-单位、Mordell、三次Thue、三次Thue-Mahler以及广义Ramanujan-Nagell方程。作为副产品，我们获得了处理各种经典丢番图问题的替代实用方法，包括寻找Q上在所有给定有理素数集合外具有好约化的所有椭圆曲线这一基本问题。为阐明我们算法的效用，我们确定了大类方程的解，其中包含许多已知方法无法处理的感兴趣例子。此外，我们利用所得数据引发各种猜想与问题，包括Baker显式abc猜想以及关于Q上任意双曲亏格一曲线的S-整数点的新猜想。在第二部分中，我们建立了与Mordell方程相关的某些古老丢番图问题（如平方与立方之差）的新结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler与广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为副产品，我们在此获得了Baker、Coates与Vinogradov-Sprindzuk经典定理的替代证明。事实上，我们得到了它们定理的精炼版本，在许多基本情形下改进了当前最佳结果。我们的结果与算法最终都依赖于Faltings方法（Arakelov、Parshin、Szpiro）结合Shimura-Taniyama猜想，且均未使用（椭圆）对数中线性形式的下界。在第三部分中，我们解决了为Q上任意具有给定E(Q)的Mordell-Weil基的椭圆曲线E构造有界高度S-整数点的高效筛法的问题。