非欧模板的主流形估计的理论基础
统计理论
2026-04-07 v1 统计理论
摘要
我们建立了一个严格的理论框架，用于主流形估计，该框架能够从高维环境空间中观测到的点云恢复低维潜流形。我们的框架适用于具有一般、可能非欧几里得拓扑的流形，这些流形可借助拓扑数据分析的工具进行推断。利用黎曼流形上Sobolev空间的理论，我们证明了所提出的主流形是良定义的，证明了用于计算它们的迭代算法的收敛性，并展示了有限样本估计量的一致性。此外，我们提出了一种选择拟合流形复杂度级别的新方法，以弥补经典拟合误差准则的不足。我们还对框架中的惩罚项提供了几何解释。除了理论发展外，我们还展示了大量数值实验来支持我们的结果。本文为机器人等应用领域中使用的方法提供了理论基础。更重要的是，它将方法推广到一般拓扑设置，具有在神经影像和形状数据分析等广泛学科中的潜在应用。
引用
@article{arxiv.2604.04272,
title = {Theoretical Foundations of Principal Manifold Estimation with Non-Euclidean Templates},
author = {Kun Meng and Christopher Perez},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.04272},
year = {2026}
}
备注
111 pages