流形值数据主成分分析的无穷小概率模型
统计理论
2018-06-26 v2 计算机视觉与模式识别
统计理论
摘要
我们提供了一种概率与无穷小的视角，说明主成分分析过程（PCA）如何被推广至非线性流形值数据的分析。从欧氏PCA过程的概率PCA解释出发，我们展示PCA如何以内在方式推广到流形，而不借助于数据空间的线性化。底层概率模型通过将欧氏随机过程利用欧氏半鞅的随机发展映射到流形来构造。该构造使用联络与协变张量丛以实现主特征向量的全局传输，从而该模型成为主纤维丛如何用于处理表征流形值统计的全局坐标系与定向缺失的示例。我们展示曲率如何蕴含欧氏主子空间等价物的不可积性，以及随机流如何提供对此类子空间显式构造的替代。我们描述了用于参数推断与主成分预测的参数估计过程，并给出了模型在嵌入曲面上的性质示例。
引用
@article{arxiv.1801.10341,
title = {An Infinitesimal Probabilistic Model for Principal Component Analysis of Manifold Valued Data},
author = {Stefan Sommer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1801.10341},
year = {2018}
}