流形上的重心子空间分析

本文研究了主成分分析 (PCA) 到 Riemann 流形的推广。我们首先提出了一种新的、通用的流形子空间族类型，我们称之为重心子空间。它们被隐式定义为 $k+1$ 个参考点的加权平均点的轨迹。由于该定义依赖于点而非切向量，它也可以扩展到非 Riemann 的测地空间。例如，在分层空间中，它自然地允许跨越多个层的主子空间，这在之前的 PCA 推广中是不可能的。我们表明，重心子空间局部定义了一个维度为 k 的子流形，推广了测地子空间。其次，我们将欧几里得空间中的 PCA 重述为在线性子空间旗（适当嵌入的、维度递增的线性子空间层次结构）上的优化问题。我们表明，欧几里得 PCA 最小化了旗中所有子空间的累积未解释方差 (AUV)。重心子空间自然是嵌套的，允许构建层次嵌套子空间。优化 AUV 准则以用 Riemann 流形中的仿射跨度旗最优近似数据点，导致了一种特别吸引人的流形上 PCA 推广，称为重心子空间分析 (BSA)。