基于主流形的集体运动降维

尽管在集体运动模式中已证明存在低维嵌入流形，但当前一系列非线性降维方法并不适用于此类流形的分析。这主要由于必要的谱分解步骤限制了对从原始高维空间到嵌入空间映射的控制。在此，我们提出一种替代方法，要求一个能拓扑概括高维数据的二维嵌入。从这个意义上说，我们的方法与一维主曲线的构造密切相关，后者在平滑性约束下最小化到数据点的正交误差。具体而言，我们利用三次平滑样条在高维空间中直接构造二维主流形，并根据测地距离定义嵌入坐标。因此，从高维数据到流形的映射由局部坐标定义。通过代表性示例，我们表明与现有非线性降维方法相比，主流形即使在含噪声和稀疏的数据集中也能保留原始结构。将主流形寻找算法应用于多智能体动力学系统模拟一种称为捕食者围攻的复杂机动所获得的构型，并将得到的二维嵌入与一种成熟的非线性降维方法进行比较。