关于完全图 $(k,\ell)$-彩虹指数的猜想之解

图 $G$ 的 $(k,\ell)$-彩虹指数 $rx_{k, \ell}(G)$ 由 Chartrand 等人引入。对于阶数 $n\geq 6$ 的完全图 $K_n$，他们证明了当 $\ell=1,2$ 时，$rx_{3,\ell}(K_n)=3$。此外，他们猜想对于每个正整数 $\ell$，存在一个正整数 $N$，使得对于每个整数 $n \geq N$，都有 $rx_{3,\ell}(K_{n})=3$。更一般地，他们猜想对于每对满足 $k\geq 3$ 的正整数 $k$ 和 $\ell$，存在一个正整数 $N$，使得对于每个整数 $n \geq N$，都有 $rx_{k,\ell}(K_{n})=k$。本文旨在给出这些猜想的解答。