任意维数和余维数等距浸入的 Sobolev 空间

我们证明了将 $n$ 维平坦区域等距浸入到 ${\mathbb R}^{n+k}$ 中的 $W^{2,p}$ 等距浸入的 $C^{1}$ 正则性和可展性，其中 $p\ge \min\{2k, n\}$。我们方法的另一个平行推论是，针对 $n$ 维退化 Monge-Amp\`ere 方程的 $W^{2,n}$ 解，得到了类似的正则性和刚性结果。该分析也适用于 Hessian 矩阵的退化扩展到 $(k+1)\times (k+1)$ 子式且解为 $W^{2,p}$（其中 $p\ge \min\{2k, n\}$）的情形。