平面域的分数阶 Sobolev 等距浸入

我们讨论了平坦域到 $\mathbb R^3$ 的等距浸入的 $C^1$ 正则性与可展性，这些浸入具有局部分数阶 Sobolev $W^{1+s, \frac2s}$ 正则性，其中 $2/3 \le s< 1$，推广了关于 Sobolev 与 H"older 情形的已知结果。证明的要素包括对等距浸入的弱 Codazzi-Mainardi 方程的分析，以及对具有对称雅可比导数和消失的分布雅可比行列式的 $W^{2,\frac2s}$ 平面形变的研究。在此过程中，我们还证明了分布雅可比行列式作为定义在雅可比矩阵上的算子，在与标量函数相乘时表现得如同梯度矩阵的行列式一样。