复射影簇与分层伪流形上的 Sobolev 空间与 Bochner 拉普拉斯算子

设 $V\subset \mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 为复维数 $v$ 的不可约复射影簇，令 $g$ 为 $\reg(V)$（$V$ 的正则部分）上由 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 的 Fubini Study 度量诱导的 K\"ahler 度量。在此设定下，Li 和 Tian 证明了 $W^{1,2}_0(\reg(V),g)=W^{1,2}(\reg(V),g)$，自然嵌入 $W^{1,2}(\reg(V),g)\hookrightarrow L^2(\reg(V),g)$ 是紧算子，且与标量拉普拉斯算子 $\Delta_0:C^{\infty}_c(\reg(V))\rightarrow C^{\infty}_c(\reg(V))$ 的 Friedrich 延拓相关的热算子，即 $e^{-t\Delta_0^{\mathcal{F}}}:L^2(\reg(V),g)\rightarrow L^2(\reg(V),g)$，是迹类算子。本文的目标是将上述结果推广到截面 Sobolev 空间的情形，以及势从下方有界的对称为 Schr\"odinger 型算子，其中底层黎曼流形是赋予 Fubini-Study 度量的复射影簇的正则部分，或赋予迭代边度量的分层伪流形的正则部分。