光滑整数与Dickman ρ函数

我们建立了$\Psi(x,y)$的一个渐近公式，其形式为$x \rho(\log x/\log y)$乘以修正因子。这些因子考虑了zeta零点与素数幂的贡献，该公式可视为$\Psi(x,y)$的一个（近似）显式公式。借助此公式，我们证明了$\Psi(x,y)$的振荡结果，解决了Hildebrand关于$\Psi(x,y) \asymp x\rho(\log x/\log y)$有效范围的问题。我们还处理了Pomerance关于$\Psi(x,y) \ge x \rho(\log x/\log y)$有效范围的问题。在此过程中我们改进了$\Psi(x,y)$的经典估计，并且在黎曼假设下揭示了$\Psi(x,y)$在$y=(\log x)^{3/2+o(1)}$处的一个意外相变。