对最大素因子分布的迭代对数逼近

本文关注估计小于 $x$ 且其最大素因子小于 $y$ 的整数个数，记为 $\psi (x,y)$。许多相关文献致力于用 Dickman 函数 $\rho (u)$ 来逼近 $\psi (x,y)$，其中 $u=\ln x/\ln y$。此类的一个典型结果是，在参数 $x$ 和 $y$ 的特定区域内，$$\psi (x,y)=x\rho (u)(1+o(1)) \eqno (1)$$。本文提出了一种不同类型的 $\psi (x,y)$ 逼近，使用了 $x$ 和 $y$ 的迭代对数。我们证明了 $$\ln (\frac {\psi}{x})=-u [\ln ^{(2)}x-\ln ^{(2)}y+\ln ^{(3)}x-\ln ^{(3)}y+\ln ^{(4)}x-a] \eqno (2)$$，其中对于某些常数 $\underbar{a}$ 和 $\bar{a}$，有 $\underbar{a}<a<\bar{a}$（用 $\ln ^{(k)}x=\ln ...\ln x$ 表示 $k$ 重迭代对数）。逼近 (2) 成立的区域与已知逼近 (1) 有效的区域互补。逼近 (2) 的一个推论是 Dickman 函数的渐近表达式，其形式为 $\ln \rho (u)=-u[\ln u+\ln ^{(2)}u](1+o(1))$，改进了此类已知的渐近逼近。我们应用 (2) 来建立 Bertrand 猜想的一个版本，并指出了如何使用该方法来强化该结果。