预期随机微分方程的重对数律

我们证明了如下类型的预期随机微分方程的函数型重对数律：$$\xi^u_t=X_0^u+\frac{1}{\sqrt{\log\log u}}\sum_{j=1}^k \int_0^{t} A_j^u(\xi^u_s)\circ dW_{s}^j+ \int_0^{t} A_0^u(\xi^u_s)ds,$$ 其中 $u>e$，$W=\{(W_t^1,...,W_t^k), 0\le t\le 1\}$ 是标准的 $k$ 维 Wiener 过程，$A_0^u,A_1^u,..., A_k^u:\mathbb{R}^d\longrightarrow \mathbb{R}^d$ 是二阶偏导数有界的 $\mathcal{C}^2$ 类函数，$X_0^u$ 是不一定适应的随机向量，且第一个积分为广义 Stratonovich 积分。