VII类曲面奇异收缩的光滑形变

我们考虑通过收缩满足 $C^2<0$ 的 $r$ 条有理曲线构成的循环 $C$，从极小 VII 类曲面 $X$ 获得的正规紧曲面 $Y$。我们的主要结果表明，如果所得尖点是可光滑化的，则 $Y$ 是全局可光滑化的。证明基于 $H^2(\Theta_Y)$ 的消没定理。若 $r<b_2(X)$，则 $Y$ 的任何光滑小形变都是有理的；若 $r=b_2(X)$（即当 $X$ 是半 Inoue 曲面时），则 $Y$ 的任何光滑小形变都是 Enriques 曲面。利用 Looijenga 猜想（最近已成为定理），我们主要定理中的“尖点可光滑化”条件可以通过循环的相交数来检验。因此这是一个“可判定”的条件。我们证明，如果 $r<b_2(X)\leq 11$，该条件总是满足的。因此，在满足 $r<b_2(X)\leq 11$ 的极小 VII 类曲面 $X$ 中，通过收缩 $r$ 条有理曲线构成的循环 $C$ 所得的奇异曲面 $Y$ 总是可以被有理曲面光滑化。该陈述即使对于未知的 VII 类曲面也成立。