KdV系统在所有临界长度下的小时局部可控性

本文考虑 KdV 系统在区间上的小时局部可控性问题，采用 Neumann 边界控制。1997 年，Rosier 发现线性化系统当且仅当长度为临界值时不可控，即 $L=2\pi\sqrt{(k^2+ kl+ l^2)/3}$ 其中 $k$ 和 $l$ 为整数。Coron 和 Cr\'epeau (2003) 证明了即使线性化系统不可控，只要 $k= l$ 是唯一解对，Nonlinear system 仍然是小时局部可控的。Later, Cerpa and Crepeau 证明了该系统在所有临界长度下均为大时局部可控。2020 年，Coron, Koenig, and Nguyen 发现当 $2k+l\not \in 3\mathbb{N}^*$ 时，该系统不具备小时局部可控性。我们证明当临界长度满足 $2k+l \in 3\mathbb{N}^*$ 且 $k\neq l$ 时，该系统不具备小时局部可控性。本文与上述结果一起，对自 Rosier 初步工作以来 KdV 在所有临界长度上的小时局部可控性问题给出了完整答案。