具有右端 Dirichlet 控制的 Korteweg-de Vries 方程的局部能控性
偏微分方程分析
2023-04-28 v2 最优化与控制
摘要
具有右端 Dirichlet 控制的 Korteweg-de Vries (KdV) 方程最早在二十多年前被研究。已证明该系统在全部非临界长度下是小时、局部、精确能控的，而其线性化系统在全部临界长度下不可控。尽管近二十年来 KdV 系统的能控性已被广泛研究，该系统在临界长度下的局部能控性仍是一个开放问题。本文中，我们对此问题给出确定性回答。首先，我们刻画了所有临界长度以及线性化系统对应的不可达空间。特别地，我们证明不可达空间维数恒为 1。其次，我们证明具有右端 Dirichlet 控制的 KdV 系统在短时间内不是局部零能控的。第三，我们给出一个判据，用以确定对于所有临界长度，该系统是在有限时间内局部精确能控，还是在任何正时间内均非局部零能控。由此，我们证明存在某些临界长度使得系统在短时间内非局部零能控，但在有限时间内局部精确能控。这些事实令人惊讶，且与相关已知结果不同。首先，已知对应的具有右端零 Dirichlet 条件的 KdV 系统利用内部控制可在短时间内局部精确能控。其次，对应的具有右端 Neumann 控制的 KdV 系统之线性化系统的不可达空间维数可能为任意值。第三，若对应的不可达空间维数为 1，则具有右端 Neumann 控制的 KdV 系统在短时间内局部精确能控。
引用
@article{arxiv.2302.06237,
title = {Local controllability of the Korteweg-de Vries equation with the right Dirichlet control},
author = {Hoai-Minh Nguyen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2302.06237},
year = {2023}
}
备注
arXiv admin note: text overlap with arXiv:2010.04478