Banach 空间理想中的小直径性质

若 Banach 空间的闭单位球包含具有任意小直径的弱开集，则该空间具有球壳性质 ($BHP$)。我们可以类似地在对偶空间中定义 $w^*$-$BHP$。在这篇简短的笔记中，我们在 Banach 空间理想的背景下研究了这些性质。理想的概念由 Godefroy、Kalton 和 Saphar 引入。我们证明，如果 Banach 空间 $X$ 具有 $BHP$，则 $X$ 的任何 $M$-理想也具有 $BHP$。我们进一步证明，如果 $Y$ 是 $X$ 的 $M$-理想，则 $Y^*$ 具有 $w^*$-$BHP$ 蕴含 $X^*$ 具有 $w^{*}$-$BHP$。我们利用这一结果证明：对于具有孤立点的紧 Hausdorff 空间 $K$，若 $C(K,X)$ 具有 $BHP$ 则 $X$ 具有 $BHP$，且 $X^*$ 具有 $w^{*}$-$BHP$ 蕴含 $C(K,X)^*$ 具有 $w^{*}$-$BHP$。我们还证明，只要 $Y$ 是 $X$ 的严格理想，$w^*$-$BHP$ 就可以从 $Y^*$ 提升到 $X^*$。最后，我们证明，如果 $Y$ 是 $X$ 的几乎等距理想，则 $BHP$ 可以从 $Y$ 提升到 $X$。对于球可凹性质 ($BDP$) 和球的切片小组合性质 ($BSCSP$)，我们也得到了类似的结果。