有界闭凸集上的 Bishop-Phelps-Bollobás 定理

本文研究 Banach 空间 $X$ 的有界闭凸子集（而不仅仅是其闭单位球 $B_X$）上的\emph{Bishop-Phelps-Bollobás 性质}（简称\emph{BPBp}）。我们首先证明了\emph{BPBp} 对实 Banach 空间任意有界闭凸子集上的有界线性泛函成立。我们表明，对于所有有限维 Banach 空间 $X$ 和 $Y$，数对 $(X,Y)$ 在 $X$ 的每个有界闭凸子集 $D$ 上具有\emph{BPBp}；并且对于具有性质 $(\beta)$ 的 Banach 空间 $Y$，数对 $(X,Y)$ 在任意 Banach 空间 $X$ 的每个有界闭绝对凸子集 $D$ 上具有\emph{BPBp}。对于具有正凸性模的 $X$ 的有界闭吸收凸子集 $D$，我们得出数对 $(X,Y)$ 在 $D$ 上对每个 Banach 空间 $Y$ 都具有\emph{BPBp}。我们进一步得出，对于 Asplund 空间 $X$ 和局部紧 Hausdorff 空间 $L$，数对 $(X, C_0(L))$ 在 $X$ 的每个有界闭绝对凸子集 $D$ 上具有\emph{BPBp}。最后，我们研究了 Banach 空间族的 $\ell_1$-和或 $\ell_{\infty}$-和在有界闭凸集上\emph{BPBp} 的稳定性。