Bochner 可积函数空间中最佳逼近性质的各种概念

我们推导出，对于 $X$ 的一个可分邻近子空间 $Y$，$Y$ 是强邻近的（强球邻近的）当且仅当对于 $1\leq p< \infty$，$L_p(I,Y)$ 在 $L_p(I,X)$ 中是强邻近的（强球邻近的）。$p=\infty$ 的情形依赖于对 $X$ 中 $Y$ 的更强假设（一致邻近性）。观察到，对于 $X$ 中的一个可分邻近子空间 $Y$，$Y$ 在 $X$ 中是球邻近的当且仅当对于 $1\leq p\leq\infty$，$L_p(I,Y)$ 在 $L_p(I,X)$ 中是球邻近的。我们的观察还包括以下事实：对于 $X$ 的任何（强）邻近子空间 $Y$，如果 $Y$ 的每个可分子空间在 $X$ 中都是球（强）邻近的，那么对于 $1\leq p<\infty$，$L_p(I,Y)$ 在 $L_p(I,X)$ 中是球（强）邻近的。我们引入了 Banach 空间中闭凸集的一致邻近性概念，该概念在文献 \cite{LZ} 中被错误定义。给出了若干具有此性质的例子，即任何 Banach 空间的 $U$-子空间、具有 $3.2.I.P$ 的空间的闭单位球 $B_X$、具有 $3.2.I.P.$ 的空间的任何 M-理想的闭单位球都是一致邻近的。还给出了一类新的具有此性质的例子。