非高斯分布的偏度与峰度分析

在最近的一篇论文 [\textit{M. Cristelli, A. Zaccaria and L. Pietronero, Phys. Rev. E 85, 066108 (2012)}] 中，Cristelli \textit{et al.} 分析了复杂动力系统中偏度与峰度之间的关系，并识别出两种非高斯性的幂律机制，其中一种以指数 2 缩放，另一种以 $4/3$ 缩放。最后，作者得出结论认为观察到的关系是复杂动力系统中的普遍事实。在此，我们利用大量合成数据测试了所提出的偏度与峰度之间的普遍关系，并表明事实上它并不普遍，仅源于所考虑数据集中数据点数量较少。我们使用两种不同的非高斯分布（即 $q$-Gaussian 分布和 Levy 分布）测试了该 proposed 关系。我们清楚地表明，只要分布的二阶矩有限，对于足够大的数据集，这种关系就会消失。我们发现，与 Cristelli \textit{et al.} 关于幂律缩放机制的主张相反，随着数据量的增加，峰度饱和为单一值，当然该值不同于高斯情况（$K=3$）。另一方面，如果分布的二阶矩无限，则峰度似乎永远不会收敛到单一值。有限二阶矩分布的收敛峰度值以及达到该值所需的数据点数量取决于原始分布与高斯情况的偏差。我们还认为，使用峰度来比较分布以决定哪一个更偏离高斯分布，即使对于小数据集的有限二阶矩分布也可能导致错误结果，而对于无限二阶矩分布则完全具有误导性，因为在所有有限 $N$ 下差异都取决于 $N$。