无电阻率不可压缩 Hall-MHD 方程组的奇点形成

本文中，我们证明无电阻率的不可压缩 Hall-MHD 系统在任何 Sobolev 空间 $H^{m}(\mathbb{R}^3)$ 中对任何 $m>\frac{7}{2}$ 都不是全局时间适定的。也就是说，要么该系统在 $H^{m}(\mathbb{R}^3)$ 中是局部不适定的，要么它是局部适定的，但存在一个 $H^{m}(\mathbb{R}^3)$ 中的初始数据，使得解的 $H^{m}(\mathbb{R}^3)$ 范数在有限时间内爆破，如果 $m>7/2$。在后一种情况下，我们选择轴对称初始数据 $u_0(x)=u_{0r}(r,z)e_r+ b_{0z}(r,z)e_z$ 和 $B_0(x)=b_{0\theta}(r,z)e_{\theta}$，并将系统简化为轴对称情形。如果对流项存活足够长的时间，那么 Hall 项会在对称轴上产生奇点，并且对于某个 $t_*>0$，我们有 $\lim\sup_{t\to t_*} \sup_{z\in \Bbb R} |\partial_z\partial_r b_\theta(r=0,z)|=\infty$。