Fano 型纤维化基底的奇点

设 $f\colon X\to Z$ 为一个 Mori 纤维空间。McKernan 猜想 $Z$ 的奇点由 $X$ 的奇点所界定。Shokurov 将其推广到对（pairs）：设 $(X,B)$ 为一个 klt 对，$f\colon X\to Z$ 为一个收缩映射，使得 $K_X+B\sim_\R 0/Z$ 且 $f$ 的一般纤维为 Fano 型簇；纤维空间的伴随产生 $Z$ 上的判别式除子 $B_Z$ 和模除子 $M_Z$。随后猜想 $(Z,B_Z+M_Z)$ 的奇点由 $(X,B)$ 的奇点所界定。当 $(F,\Supp B_F)$ 属于一个有界族时（其中 $F$ 是 $f$ 的一般纤维且 $K_F+B_F=(K_X+B)|_F$），我们证明了 Shokurov 猜想。