分数阶动力系统解轨迹中的奇点

涉及非局部导数算子的动力系统在数学分析与应用中有重要意义。本文研究含 Caputo 导数的分数阶系统的动力学。我们综述线性动力系统 ${}_0^C\mathrm{D}_t^\alpha X(t)=AX(t)$ 的解，其中系数矩阵 $A$ 为典范形。我们给出所有典范形情形的精确解并描绘平面系统的相图。我们讨论当 $A$ 的特征值 $\lambda$ 位于稳定区域边界即 $|arg(\lambda)|=\frac{\alpha\pi}{2}$ 时轨迹的行为。进一步，我们讨论此类系统轨迹在 $\mathbb{C}$ 的某一区域（即区域 II）中奇点的存在性。我们猜想解轨迹中存在奇点当且仅当 $\lambda\in$ 区域 II。