Grassmannian 曲率的简单矩阵表达式

我们展示了将Grassmannian建模为对称正交矩阵 $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n) \cong\{Q \in \mathbb{R}^{n \times n} : Q^{\scriptscriptstyle\mathsf{T}} Q = I, \; Q^{\scriptscriptstyle\mathsf{T}} = Q,\; \operatorname{tr}(Q)=2k - n\}$ 可得各种曲率及曲率相关量（包括内禀与外禀）具有极其简单的矩阵公式。这些包括黎曼、罗里、雅可比、关节、标量、均值、主、高斯曲率；Schouten、Weyl、Cotton、Bach、Pleba\'nski、cocurvature、nonmetricity 与 torsion 张量；第一、第二、第三基本形；Gauss 与 Weingarten 映射；以及上、下 delta 不变量。我们将推导上述量的显式、简单表达式，这些表达式以标准矩阵运算形式呈现，可使用数值线性代数实现稳定计算。其中许多量此前在Grassmannian 上从未被表述。