作为仿射簇的Grassmannian的次数

Grassmannian关于Plücker嵌入的次数是众所周知的。然而，Plücker嵌入虽然在纯数学中无处不在，但在应用数学中几乎从未被使用。在应用数学中，Grassmannian通常被嵌入为投影矩阵 $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n) \cong \{P \in \mathbb{R}^{n \times n} : P^{\scriptscriptstyle\mathsf{T}} = P = P^2,\; \operatorname{tr}(P) = k\}$ 或对合矩阵 $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n) \cong \{X \in \mathbb{R}^{n \times n} : X^{\scriptscriptstyle\mathsf{T}} = X,\; X^2 = I,\; \operatorname{tr}(X)=2k - n\}$。我们将确定Grassmannian关于这些嵌入的次数的显式表达式。在此过程中，我们解决了Devriendt、Friedman、Reinke和Sturmfels关于 $\operatorname{Gr}(2, \mathbb{R}^n)$ 次数的猜想，并实际上将其推广到了 $\operatorname{Gr}(k, \mathbb{R}^n)$。我们还证明了他们关于 $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n)$ 在Gröbner退化意义下的极限的另一个猜想的集合论变体。