赫克合多项式第二系数的符号

设 $T_m(N, k, \chi)$ 为等级 $N$、权数 $k \ge 2$ 且螺旋型 $\chi$ 的第 $m$ 个赫克算子，其中 $N$ 与 $m$ 互素。我们首先证明，对任意给定的 $m \ge 1$，当 $(N,k,\chi)$ 取除有限个特例外的所有情形时，$T_m(N, k, \chi)$ 特征多项式的第二系数均非零。进一步地，当 $\chi$ 为平凡且给定固定的 $m$ 时，我们确定除有限个特例外的所有配对 $(N,k)$ 中第二系数的符号。最后，当 $\chi$ 为平凡且 $m=3,4$ 时，我们计算所有配对 $(N,k)$ 中第二系数的符号。