Hecke多项式新空间第二系数的非零性

对于 $m \geq 1$，设 $N \geq 1$ 与 $m$ 互素，$k \geq 2$，且 $\chi$ 为模 $N$ 的Dirichlet字符，且 $\chi(-1)=(-1)^k$。则令 $T_m^{\text{new}}(N,k,\chi)$ 表示第 $m$ 个Hecke算子在空间 $S_k^{\text{new}}(\Gamma_0(N), \chi)$ 上的限制。我们证明对于固定的 $m$ 和平凡字符 $\chi$，特征多项式的第二系数 $T_m^{\text{new}}(N,k)$ 只在有限多个对 $(N,k)$ 上为零，并且我们进一步确定了该符号。为说明我们的方法，对于 $m=2,4$，我们还计算了所有第二系数为零的配对 $(N,k)$。在一般字符情况下，我们还表明在排除 $S_k^{\text{new}}(\Gamma_0(N), \chi)$ 为零的无限系列后，特征多项式的第二系数 $T_m^{\text{new}}(N,k,\chi)$ 只在有限多个三元组 $(N,k,\chi)$ 上为零。