Heegner点与环面周期的横向不消失性

设$F/\mathbb{Q}$为全实域,$A$为$F$上的模$\GL_2$型阿贝尔簇。设$K/F$为CM二次扩张。设$\chi$为$K$上的类群特征标,使得Rankin-Selberg卷积$L(s,A,\chi)$自对偶且根数为$-1$。我们证明,具有有界分歧且使得$L'(1, A, \chi) \neq 0$的类群特征标$\chi$的数量随$K$判别式绝对值的增大而增大。我们也考虑一种相当一般的零秩情形。设$\pi$为$\GL_{2}(\BA_{F})$上的尖点上同调自守表示。设$\chi$为$K$上的Hecke特征标,使得Rankin-Selberg卷积$L(s,\pi,\chi)$自对偶且根数为$1$。我们证明,具有固定$\infty$-型且有界分歧且使得$L(1/2, \pi, \chi) \neq 0$的Hecke特征标$\chi$的数量随$K$判别式绝对值的增大而增大。Gross-Zagier公式与Waldspurger公式分别将这一问题关联到Heegner点的横向不消失性与环面周期。对两种情形,策略均为几何的,依赖于四元数Shimura簇自乘积上CM点的Zariski稠密性。近期关于André-Oort猜想的结果\cite{Ts, YZ, AGHP}对此方法至关重要。