压缩纤维丛的纤维可分裂黎曼张量

本文利用 Karcher [Kar99] 对 O'Neill 张量 [O'N66,Gra67] 的表述，推导出了一个简洁公式，用于描述通过将半黎曼流形的纤维丛 $\pi:M\to B$ 的纤维压缩 $1-\epsilon$ 因子而获得的曲率形式族 $\Omega^\epsilon$。该公式清晰地表明，当 $\epsilon$ 趋近于 1 时，$\Omega^\epsilon$ 趋近于垂直曲率形式 $\Omega^\mathrm{V}$ 与 $B$ 的曲率形式的拉回 $\pi^*\Omega^B$ 之和。因此，Gauss-Bonnet 被积函数 $\mathrm{Pf}(\Omega^\epsilon)$ 趋近于楔积 $\mathrm{Pf}(\Omega^\mathrm{V})\wedge\pi^*\mathrm{Pf}(\Omega^B)$。因此，若 $\pi$ 具有紧致纤维 $F$，则前推 $\pi_*\mathrm{Pf}(\Omega^\epsilon)$ 趋近于 $\chi(F)\cdot\mathrm{Pf}(\Omega^B)$。