椭圆曲线族上素数计数函数的短平均分布

设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，$N$ 为正整数。$M_E(N)$ 计数使得群 $E_p(\mathbb{F}_p)$ 的阶为 $N$ 的素数 $p$ 的个数。在与 Balasubramanian 早期合作的工作中，我们证明了当在参数为 $A$ 和 $B$ 的椭圆曲线族上取平均时，$M_E(N)$ 服从泊松分布，其中对于固定整数 $\ell$ 和任意 $\gamma>0$，满足 $A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+\gamma}$ 且 $AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+\gamma}$。在本文中，我们证明对于充分大的 $N$，即使将 $A$ 和 $B$ 取在 $\exp(N^{\frac{\epsilon^2}{20\ell}})\ge A, B>N^\epsilon$ 且 $AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+\gamma}$ 的范围内，同样的结果对任意 $\epsilon>0$ 依然成立。