素有限域上椭圆曲线群的频率

令 $p$ 遍历所有素数，$E$ 遍历有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的所有椭圆曲线，我们研究给定群 $G$ 作为点群 $E(\mathbb{F}_p)$ 出现的频率。众所周知，唯一允许的群形式为 $G_{m,k}:=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/mk\mathbb{Z}$。对于这样一个候选群，我们令 $M(G_{m,k})$ 为该群以此种方式出现的频率。此前，第二作者和第四作者基于关于短算术级数中素数的一个猜想，确定了 $M(G_{m,k})$ 的渐近公式。在本文中，我们证明了 $M(G_{m,k})$ 的几个无条件界，包括逐点界和平均界。特别地，我们表明当 $m\le k^A$ 时，$M(G_{m,k})$ 以预期量的常数倍为上界；并且当 $m\le k^{1/4-\epsilon}$ 时，$M(G_{m,k})$ 的猜想渐近式对几乎所有群 $G_{m,k}$ 成立。我们还应用我们的方法研究了给定整数 $N$ 作为群阶 $\#E(\mathbb{F}_p)$ 出现的频率。