$\mathbb{S}^n$上尖锐次临界Sobolev不等式与高阶Lane-Emden方程非负解的唯一性

本文关注$\mathbb{S}^n$上涉及GJMS算子的高阶Lane-Emden方程非负解的唯一性结果。由于基于Kelvin变换与最大值原理的经典移动平面法在处理$\mathbb{S}^n$中高阶椭圆方程时失效，我们首先利用$\mathbb{S}^n$与$\mathbb{R}^n$间的Mobius变换、多调和平均与迭代论证，证明$\mathbb{S}^n$上的高阶Lane-Emden方程等价于$\mathbb{R}^n$中的某积分方程。随后我们应用积分形式的移动平面法及球的对称性，得到$\mathbb{S}^n$上次临界多项式增长高阶Lane-Emden方程非负解的唯一性。作为应用，我们还确定了$\mathbb{S}^n$上涉及GJMS算子的尖锐次临界高阶Sobolev不等式的最佳常数并分类了其极值。即便对于$\mathbb{S}^n$上关于一阶导数的Lane-Emden方程与尖锐次临界Sobolev不等式，我们的结果似乎也未见于现有文献。