Struwe分解的尖锐定量估计

设$u\in \dot{H}^1(\mathbb{R}^n)$。在一项开创性工作中,Struwe证明:若$u\geq 0$且$\|\Delta u+u^{\frac{n+2}{n-2}}\|_{H^{-1}}:=\Gamma(u)\to 0$,则$dist(u,\mathcal{T})\to 0$,其中$dist(u,\mathcal{T})$表示$u$与Talenti气泡之和流形在$\dot{H}^1(\mathbb{R}^n)$下的距离。Ciraolo、Figalli与Maggi给出了所有维数下含单个气泡的Struwe分解的首个定量版本,即$\delta (u) \leq C \Gamma (u)$。对于含两个及以上气泡的Struwe分解,Figalli与Glaudo给出了惊人的维数相关定量估计:当$3\leq n\leq 5$时$\delta(u)\leq C \Gamma(u)$,而当$n\geq 6$时该式不成立。本文中,我们证明$$dist (u,\mathcal{T})\leq C\begin{cases} \Gamma(u)\left|\log \Gamma(u)\right|^{\frac{1}{2}}\quad&\text{if }n=6, |\Gamma(u)|^{\frac{n+2}{2(n-2)}}\quad&\text{if }n\geq 7.\end{cases}$$此外,我们证明该不等式是尖锐的。