尖锐相互作用估计及其应用：带势的耦合薛定谔系统归一化基态的存在性

本文旨在证明下列带势薛定谔系统归一化基态的存在性：$$\begin{cases} -\Delta u_1+V_1(x)u_1+\lambda_1 u_1=\partial_1 G(u_1,u_2)\;\quad&\hbox{in}\;\mathbb{R}^N,\\ -\Delta u_2+V_2(x)u_2+\lambda_2 u_2=\partial_2G(u_1,u_2)\;\quad&\hbox{in}\;\mathbb{R}^N,\\ 0<u_1,u_2\in H^1(\mathbb{R}^N), N\geq 1,\\ \int_{\mathbb{R}^N}u_1^2 \mathrm{d} x=a_1, \int_{\mathbb{R}^N}u_2^2 \mathrm{d} x=a_2. \end{cases}$$ 势 $V_1(x),V_2(x)$ 是一般的，满足 $\inf \text{ess}~\sigma(-\Delta+V_\iota)>-\infty$，并允许在某些点处奇异。非线性项 $G(u_1,u_2)$ 考虑为如下形式：$$\begin{cases} G(u_1, u_2):=\sum_{i=1}^{\ell}\frac{\mu_i}{p_i}|u_1|^{p_i}+\sum_{j=1}^{m}\frac{\nu_j}{q_j}|u_2|^{q_j}+\sum_{k=1}^{n}\beta_k |u_1|^{r_{1,k}}|u_2|^{r_{2,k}},~~\ell,m,n\in \mathbb{N}^+_0, \mu_i, \nu_j,\beta_k>0, ~2<r_{1,k}+r_{2,k}, p_i, q_j<2+\frac{4}{N}, ~r_{1,k}, r_{2,k}>1, i=1,2,\cdots, \ell; j=1,2,\cdots, m; k=1,2,\cdots, n. \end{cases}$$ 在质量次临界假设下，归一化基态作为泛函 $J$ 在流形 $S_{a_1,a_2}$ 上的最小值获得。由于该泛函不是弱下半连续的，为证明极小问题的可解性，关键步骤是建立严格的次可加不等式。其主要构成部分之一是对正解的尖锐衰减与相互作用估计的研究。