格点 $\mathbb{Z}^d$ 上离散奇异积分的尖锐 $\ell^p$ 不等式

本文研究了长期猜想的高维版本，该猜想在 [Ba\~nuelos and Kwa\'snicki, Duke Math. J. (2019)] 中被证实：整数上离散 Hilbert 变换的 $\ell^p$ 范数等同于实线上 Hilbert 变换的 $L^p$ 范数。它计算了格点 $\mathbb{Z}^{d}$（$d\geq 1$）上一族离散算子的 $\ell^p$ 范数。它们是 $\mathbb{R}^d$ 上一类新奇异积分的离散化，这些积分在零附近具有与经典 Riesz 变换相同的核，在无穷远处具有类似行为。这些离散算子具有与 $\mathbb{R}^d$ 上经典 Riesz 变换相同的 $p$ 范数。它们被构造为 Doob h-过程的鞅变换在条件仅于格点 $\mathbb{Z}^d$ 上退出上半空间 $\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}_{+}$ 的条件期望。本文还给出了经典旋转方法的离散类比，给出了 $\mathbb{Z}^d$ 上不同变体离散 Riesz 变换的范数。在此过程中，基于傅里叶变换技术给出了用于确定 [Ba\~nuelos and Kwa\'snicki, Duke Math. J. (2019)] 中离散 Hilbert 变换范数的关键恒等式的新证明。文中提出了开放问题。