二阶黎西夫变换的离散类比

离散类比在调和分析中对经典算子进行研究，揭示了与 ergodic theory 和 analytic number theory 等领域之间的深刻联系。这一研究线称为离散调和分析类比（DAHA）。本文我们研究二阶黎西夫变换的$\ell^p$范数。通过概率方法，我们构建了一类新的二阶离散黎西夫变换$\mathcal{R}^{(jk)}$，定义在格子$\mathbb{Z}^d$上，其中$d \ge 2$。我们证明对于$1<p<\infty$，其$\ell^p(\mathbb{Z}^d)$范数与定义在$L^p(\mathbb{R}^d)$上的经典二阶黎西夫变换$R^{(jk)}$的范数相同，当$j \neq k$时，当$j=k$时则在维数常数下相等。算子$\mathcal{R}^{(jk)}$与离散类比$R^{(jk)}_{\mathrm{dis}}$之间的差异是与一个$\ell^1(\mathbb{Z}^d)$函数的卷积。我们给出了DAHA的鲍尔林-阿尔夫斯算子的一个应用。我们还表明$\mathcal{R}^{(jk)}$是某些卡尔森-齐格姆算子$\mathbf{R}^{(jk)}$的离散类比，这些算子与$R^{(jk)}$之间的差异是与一个$L^1(\mathbb{R}^d)$函数的卷积。最后，我们推测$\mathcal{R}^{(jk)}$、$R^{(jk)}_{\mathrm{dis}}$和$\mathbf{R}^{(jk)}$的$L^p$范数与经典黎西夫变换的范数相同，已知经典黎西夫变换的范数等于相应鞅变换范数。