望远镜局部化代数 $K$-理论中的若干同伦不动点谱序列

设 $n \geq 1$，$p$ 为素数，$T(n)$ 为有限类型 $n$ 复形的望远镜 $v_n^{-1}F(n)$ 的 Bousfield 类的任意代表。又设 $E_n$ 为 Lubin-Tate 谱，$K(E_n)$ 为其代数 $K$-理论谱，$G_n$ 为扩展 Morava 稳定子群（一个 profinite 群）。受 Ausoni-Rognes 猜想的启发，我们证明存在两个谱序列 $${^{I}}\mspace{-3mu}E_2^{s,t} \Longrightarrow \pi_{t-s}((L_{T(n+1)}K(E_n))^{hG_n}) \Longleftarrow {^{II}}\mspace{-2mu}E_2^{s,t}$$ 具有共同收敛目标 $\pi_\ast(-)$，即 $L_{T(n+1)}K(E_n)$ 的连续同伦不动点，其中 ${^{I}}\mspace{-3mu}E_2^{s,t}$ 是以某个离散 $G_n$-模塔为系数的连续上同调。若该塔满足 Mittag-Leffler 条件，则存在连续上链上同调群 $${^{I}}\mspace{-3mu}E_2^{\ast,\ast} \cong H^\ast_\mathrm{cts}(G_n, \pi_\ast(L_{T(n+1)}K(E_n))) \cong {^{II}}\mspace{-2mu}E_2^{\ast,\ast}.$$ 我们分离出两个假设，其中第一个在 $(n,p) = (1,2)$ 时成立，它们蕴含 $(L_{T(n+1)}K(E_n))^{hG_n} \simeq L_{T(n+1)}K(L_{K(n)}S^0)$。此外，我们证明存在谱序列 $$H^s_\mathrm{cts}(G_n, \pi_t(K(E_n) \otimes T(n+1))) \Longrightarrow \pi_{t-s}((K(E_n) \otimes T(n+1))^{hG_n}).$$