Ausoni-Rognes 猜想若干基础情形中某些对象的构造

设 $p$ 为素数，$n \geq 1$，$K(n)$ 为第 $n$ 个 Morava $K$-理论谱，$\mathbb{G}_n$ 为扩展 Morava 稳定子群，$K(A)$ 为交换 $S$-代数 $A$ 的代数 $K$-理论谱。对于类型 $n+1$ 复形 $V_n$，Ausoni 和 Rognes 猜想：(a) 单位映射 $i_n: L_{K(n)}(S^0) \to E_n$（从 $K(n)$-局部球面到 Lubin-Tate 谱）诱导一个映射 $$K(L_{K(n)}(S^0)) \wedge v_{n+1}^{-1}V_n \to (K(E_n))^{h\mathbb{G}_n} \wedge v_{n+1}^{-1}V_n$$ 该映射为弱等价，其中 (b) 由于 $\mathbb{G}_n$ 是 profinite 群，$(K(E_n))^{h\mathbb{G}_n}$ 表示连续同伦不动点谱，且 (c) 上述映射目标的 $\pi_\ast(-)$ 是同伦不动点谱序列的极限。对于 $n = 1$，$p \geq 5$，且 $V_1 = V(1)$ 的情况，我们给出了一种实现上述映射及 (c) 的方法，证明了 $i_1$ 诱导一个映射 $$K(L_{K(1)}(S^0)) \wedge v_{2}^{-1}V_1 \to (K(E_1) \wedge v_{2}^{-1}V_1)^{h\mathbb{G}_1},$$ 其中该映射的目标是一个连续同伦不动点谱，并带有一个相伴的同伦不动点谱序列。此外，我们证明存在一个等价 $$(K(E_1) \wedge v_{2}^{-1}V_1)^{h\mathbb{G}_1} \simeq (K(E_1))^{\widetilde{h}\mathbb{G}_1} \wedge v_2^{-1}V_1,$$ 其中 $(K(E_1))^{\widetilde{h}\mathbb{G}_1}$ 是将 $\mathbb{G}_1$ 视为离散群时的同伦不动点。