Profinite 与离散 G-谱及迭代同伦不动点

对于 profinite 群 $G$，令 $(\text{-})^{hG}$、$(\text{-})^{h_dG}$ 和 $(\text{-})^{h'G}$ 分别表示 profinite $G$-谱、离散 $G$-谱以及连续 $G$-谱（源自离散 $G$-谱塔）的连续同伦不动点。我们建立了前两个概念之间的一些联系，并利用 Postnikov 塔，针对 $K \vartriangleleft_c G$（闭正规子群），给出了迭代同伦不动点 $(X^{hK})^{hG/K}$ 存在且等于 $X^{hG}$ 的各种条件。对于 Lubin-Tate 谱 $E_n$ 和 $G <_c G_n$（扩展 Morava 稳定化子群），我们的结果表明 $E_n^{hK}$ 是一个 profinite $G/K$-谱，且 $(E_n^{hK})^{hG/K} \simeq E_n^{hG}$；该论证具有某种技术上的简洁性，这是证明 $(E_n^{h'K})^{h'G/K} \simeq E_n^{h'G}$ 或 Devinatz-Hopkins 证明（要求 $|G/K| < \infty$）$(E_n^{dhK})^{h_dG/K} \simeq E_n^{dhG}$ 所不具备的，其中 $E_n^{dhK}$ 是一种表现为连续同伦不动点的构造。此外，我们证明了（一般情况下）$\pi_\ast((E_n^{hK})^{hG/K})$ 的 $G/K$-同伦不动点谱序列（其 $E_2^{s,t} = H^s_c(G/K; \pi_t(E_n^{hK}))$，即连续上同调）同构于 Devinatz 针对 $\pi_\ast(E_n^{dhG})$ 构建的强收敛 Lyndon-Hochschild-Serre 谱序列（其 $E_2^{s,t} = H^s_c(G/K; \pi_t(E_n^{dhK}))$），同时也同构于 $\pi_\ast((E_n^{h'K})^{h'G/K})$ 的下降谱序列。