平凡pro有限群作用从群上同调到谱的提升

设 $G$ 为pro有限群，$X$ 为具有平凡作用的离散 $G$-谱，$\text{colim}\,_N \,X^{hG/N}$ 为连续同伦不动点。对任意 $N \trianglelefteq_o G$（“o”表示开），$X = X^N$ 是具有平凡作用的 $G/N$-谱。我们构造一个之字形 \text{colim}\,_N \,X^{hG/N} \buildrel\Phi\over\longrightarrow \text{colim}\,_N \,(X^{hN})^{hG/N} \buildrel\Psi\over\longleftarrow X^{hG}，其中 $\Psi$ 为弱等价。当 $\Phi$ 为弱等价时，该之字形给出 $X^{hG}$ 的一个有趣模型（例如，其Spanier-Whitehead对偶为 $\text{holim}\,_N \,F(X^{hG/N}, S^0)$）。我们证明在以下情形该结论成立：(1) $|G| < \infty$；(2) $X$ 有上界；(3) 存在 $\{U\}$ 在 $\{N\}$ 中共尾，使得对每个 $U$，当 $s > 0$ 时 $H^s_c(U, \pi_\ast(X)) = 0$。给定(3)，对每个 $U$，存在弱等价 $X \buildrel\simeq\over\longrightarrow X^{hU}$ 且 $X^{hG} \simeq X^{hG/U}$。对情形(3)，我们给出一系列推论与例子。作为例子族的一个实例：若 $p$ 为素数，$K(n_p,p)$ 为在 $p$ 处某 $n_p \geq 1$ 的第 $n_p$ 个Morava $K$-理论 $K(n_p)$，$\mathbb{Z}_p$ 为 $p$-进整数，则对每个 $m \geq 2$，当 $G \leqslant \prod_{p \leq m} \mathbb{Z}_p$ 为闭的、$X = \bigvee_{p > m} (H\mathbb{Q} \vee K(n_p,p))$、且 $\{U\} := \{N_G \mid N_G \trianglelefteq_o G\}$ 时，(3) 被满足。