与弱 brace 相关的杨-巴克斯特方程集合论解

我们研究一种新的代数结构，它总能给出杨-巴克斯特方程的一个集合论解。具体地，弱（左）brace 是一个非空集合 $S$，赋予两个二元运算 $+$ 和 $\circ$，使得 $(S,+)$ 和 $(S, \circ)$ 均为逆半群，并且对所有 $a,b,c \in S$ 成立 \begin{align*} a \circ \left(b+c\right) = a\circ b - a +a\circ c \qquad \text{and} \qquad a\circ a^- = - a + a, \end{align*} 其中 $-a$ 和 $a^-$ 分别是 $a$ 关于 $+$ 和 $\circ$ 的逆。特别地，此类结构包含斜 brace 的结构，并构成逆半 brace 的一个子类。与任意弱 brace $S$ 相关联的任意解 $r$ 具有接近双射的性质，即 $r$ 是 $S\times S$ 上全变换半群中的完全正则元。此外，我们给出了一些构造弱 brace 的方法。