多维与函数型输出的敏感性分析

设 $X:=(X_1, \ldots, X_p)$ 为定义在某概率空间 $(\Omega,{\mathcal{F}}, \mathbb P)$ 上并取值于某可测空间 $E=E_1\times\ldots \times E_p$ 的随机对象（输入）。进一步，设 $Y:=Y = f(X_1, \ldots, X_p)$ 为输出。此处，$f$ 是从 $E$ 到某希尔伯特空间 $\mathbb{H}$（$\mathbb{H}$ 可以是有限维或无限维）的可测函数。在本工作中，当输出属于 $\mathbb{H}$ 时，我们给出了 Sobol 指数（经典定义于 $Y\in\mathbb R$ 时）的自然推广。这些指数具有非常优良的性质。首先，它们在等距变换和缩放变换下是不变的。此外，如同在一维情形下，它们可以利用所谓的 Pick and Freeze 方法进行轻松估计。我们研究了此类估计方案的渐近行为。