平面图的准强边染色

已考虑匹配 $M$ 的加强概念，要求该匹配 $M$ 就其由 $M$ 覆盖的顶点诱导的子图 $G_M$ 具有某些属性：如果 $M$ 是 $G_M$ 的唯一完美匹配，则 $M$ 是 $G$ 的 \emph{准受限匹配}；如果 $M$ 的所有边都是 $G_M$ 的 pendant 边，则 $M$ 是 $G$ 的 \emph{准强匹配}；如果 $G_M$ 的所有顶点都是 pendant，则 $M$ 是 $G$ 的 \emph{诱导匹配}。边染色和染色指数的加强概念也随之而来。本文考虑具有给定最大度 $\Delta$ 的平面图的准强染色指数。我们证明，最大平均度小于 ${14}/{5}$ 的图的准强染色指数（因此也是准受限染色指数）至多为 $2\Delta+4$；当最大平均度小于 ${8}/{3}$ 时，将该界降至 $2\Delta+2$。这些情况特别涵盖了最大度数至少为 7（或 8）的平面图的情况。我们的结果在 Lu{\v{z}}ar, Mockov{\v{c}}iakov{\'a} 和 Sot{\'a}k 的猜想 [J.~Graph Theory 105 (2024) 612--632] 上做出了一些进展，该猜想断言每个平面图 $G$ 都有一个用 $2\Delta+C$ 颜色的准强边染色，其中 $C$ 为某个普适常数。（请注意，对于强边染色，此类猜想会失败，因为存在最大度数可任意大的图其不满足 $(4\Delta-5)$-边可染色。）我们提供一个平面图的例子，表明最大度数为 $\Delta$ 的平面图的准强染色指数至少为 $2\Delta+4$。