半量子混沌与大 N 展开

我们考虑一个由量子自由度 $A$ 与 $N$ 个量子振子组成的动力学系统，其拉格朗日量为\n\bq L = {1\over 2}\dot{A}^2 + \sum_{i=1}^{N} \left\{{1\over 2}\dot{x}_i^2 - {1\over 2}( m^2 + e^2 A^2)x_i^2 \right\}. \eq\n在 $N \rightarrow \infty$ 且 $e^2 N$ 保持固定的极限下，$A$ 的量子涨落为 $1/N$ 量级。在此极限下，$x$ 振子表现为谐振子，其含时质量由 $\VEV{A(t)}$ 期望值的半经典方程的解决定。当 $\VEV{x(t)}= 0$ 时，该系统可由变量 $G(t) = \VEV{x^2(t)}$、$\dot{G}(t)$、$A_c(t) = \VEV{A(t)}$ 和 $\dot{A_c}(t)$ 的经典哈密顿量描述。后者的动力学被证明是混沌的。我们提出通过考虑精确的量子系统以及利用量子动力学的闭时路径形式对运动方程进行 $1/N$ 幂次展开来研究这一大 $N$ 极限的性质。