C*-代数的半连续性与闭面

C. Akemann 和 G. Pedersen 为 C*-代数 $A$ 的包络 von Neumann 代数 $A^{**}$ 中的自伴元素定义了三种半连续性概念。我们给出了 $pA^{**}p$ 中元素的类似概念的基本性质，其中 $p$ 是 $A^{**}$ 中的闭投影。换言之，我们不考虑 $A$ 的准态空间 $Q$ 上的仿射泛函，而是考虑由 $p$ 支撑的 $Q$ 的闭面 $F(p)$ 上的泛函。我们证明了一个插值定理：若 $h \geq k$，其中 $h$ 在 $F(p)$ 下半连续，$k$ 上半连续，则存在 $F(p)$ 上的连续仿射泛函 $x$，使得 $x$ 介于 $h$ 和 $k$ 之间。我们还证明了一个插值 - 扩张定理：此时 $h$ 和 $k$ 给定在 $Q$ 上，$x$ 给定在 $F(p)$ 上且介于 $h|_{F(p)}$ 和 $k|_{F(p)}$ 之间，我们寻求将 $x$ 扩张到 $Q$ 上的 $\tilde{x}$，使得 $\tilde{x}$ 介于 $h$ 和 $k$ 之间。我们根据半连续性给出了 $p(M(A)_{sa})p$ 的刻画。此外，我们还根据半连续性给出了算子凸性和强算子凸性的新刻画。