具有BGK型碰撞算子的半导体Boltzmann-Dirac-Benney方程：解的存在性与不适定性

分析了具有非线性 BGK 型碰撞算子的半导体 Boltzmann 方程在光学晶格中超冷原子云的情形：$$\partial_t f + \nabla_p\epsilon(p)\cdot\nabla_x f - \nabla_x n_f\cdot\nabla_p f = n_f(1- n_f)(\mathcal{F}_f-f), \quad x\in\mathbb{R}^d, p\in\mathbb{T}^d, t>0.$$ 该系统包含相互作用势 $n_f(x,t):=\int_{\mathbb{T}^d}f(x,p,t)dp$，其奇性显著强于 Vlasov-Poisson 系统中所用的库仑势。这给分析带来了重大的结构性困难。此外，$\epsilon(p) = -\sum_{i=1}^d$ $\cos(2\pi p_i)$ 为色散关系，$\mathcal{F}_f$ 表示费米-狄拉克平衡分布，在此情形下它非线性依赖于 $f$。在稀薄等离子体中——无碰撞（右端$=0$）时——该系统与 Vlasov-Dirac-Benney 方程密切相关。对于解析初值，我们证明了半导体 Boltzmann 方程存在局部的解析解。此处我们利用 Mouhout 和 Villani 的技术，采用随时间变化的 Gevrey 型范数。此外，证明了该方程在靠近某些费米-狄拉克平衡分布函数的 Sobolev 空间中局部不适定。