带弛豫时间近似的半导体 Boltzmann-Dirac-Benney 方程的全局解析解

在初始数据解析且充分接近 $\mathcal F_\lambda$ 的假设下，我们证明了半导体 Boltzmann-Dirac-Benney 方程 $$\partial_t f + \nabla\epsilon(p)\cdot\nabla_x f - \nabla \rho_f(x,t)\cdot\nabla_p f = \frac{\mathcal F_\lambda(p)-f}\tau, \quad x\in\mathbb{R}^d,\ p\in B, \ t>0$$ 对小 $\tau>0$ 的全局解存在性。该系统包含相互作用势 $\rho_f(x,t):=\int_{B}f(x,p,t)dp$，其奇异性显著强于库仑势，给分析带来主要的结构性困难。半导体 Boltzmann-Dirac-Benney 方程是囚禁于光晶格中的超冷原子模型。因此，由于光晶格，色散关系由 $\epsilon(p) = -\sum_{i=1}^d$ $\cos(2\pi p_i)$，$p\in B=\mathbb{T}^d$ 给出，而费米-狄拉克分布 $\mathcal F_\lambda(p)=1/(1+\exp(-\lambda_0-\lambda_1\epsilon(p)))$ 描述了超冷费米子云的平衡态。该方程与 Vlasov-Dirac-Benney 方程密切相关，后者取 $\epsilon(p)=\frac{p^2}2$，$p\in B=\mathbb R^d$ 且右端$=0$，其全局解的存在性仍是一个开放问题。迄今为止，针对这些系统仅发现了局部存在性与不适定性结果。关键技术基于 Mouhot 和 Villani 的思想，利用随时间变化的 Gevrey 型范数。对于小初始数据的全局存在性结果也在更一般的情形下得到证明，即 $$\partial_t f + Lf=Q(f),$$ 其中 $L$ 是 $C^0$-群的生成元，对所有 $t\in\mathbb R$ 满足 $\|e^{tL}\|\leq Ce^{\omega t}$ 且 $\omega>0$，并进一步假设了 $L$ 与 $Q$ 的附加解析性质。