具有限制聚集的 Smoluchowski 方程离散模型中的自组织临界性

我们引入并研究了一个具有限制聚集的 Smoluchowski 方程的离散随机模型。后者是由 Bertoin 提出的一种可能表现出凝胶化的聚集模型。在我们的模型中，大量粒子最初被赋予指定数量的臂。这些臂在指数时间后独立被激活并相继连接在一起。然而，当团簇的大小超过固定阈值时，它会瞬间落入凝胶中，意味着它不再与溶液中的其他粒子相互作用。该模型中的浓度渐近地服从具有限制聚集的 Smoluchowski 方程。在本文中，我们研究了该模型的离散特征。我们能够论证它与配置模型密切相关。我们具体获得了该配置模型参数的显式表达式，这些表达式表明它在凝胶化前是亚临界的，但在之后保持临界状态。因此，凝胶化前溶液中典型团簇的渐近分布是亚临界 Galton-Watson 树的分布，而凝胶化后则是临界 Galton-Watson 树的分布。因此，我们的模型表现出自组织临界性。我们的研究严重依赖于对临界窗口中配置模型的研究。本文的主要结果之一是对 Janson 和 Luczak 关于该临界窗口中最大连通分量大小结果的扩展。最后，作为我们显式表达式的一个推论，我们对 Normand 和 Zambotti 建立的关于 Smoluchowski 方程中极限浓度的解析公式提供了解释。